以棱长为 $1$ 的正方体的一个顶点，以及与它不共面的三个面的中心组成一个三棱锥，则这个三棱锥的体积是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{12}$
【解析】
如图，过 $A_1$ 作 $A_1E\perp PQR$ 于点 $E$．
由题所求三棱锥即 $A_1-PQR$，为正三棱锥，底面 $PRQ$ 是边长为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 的等边三角形，因此，有$$S_{\triangle PQR}=\dfrac{\sqrt3}{8},A_1E=\sqrt{A_1Q^2-QE^2}=\dfrac{2}{\sqrt3},$$因此，三棱锥的体积$$V=\dfrac13\cdot S_{\triangle PQR}\cdot A_1E=\dfrac{1}{12}.$$
由题所求三棱锥即 $A_1-PQR$，为正三棱锥，底面 $PRQ$ 是边长为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 的等边三角形，因此，有$$S_{\triangle PQR}=\dfrac{\sqrt3}{8},A_1E=\sqrt{A_1Q^2-QE^2}=\dfrac{2}{\sqrt3},$$因此，三棱锥的体积$$V=\dfrac13\cdot S_{\triangle PQR}\cdot A_1E=\dfrac{1}{12}.$$
题目
答案
解析
备注
