已知直线 $l:mx+ny-2=0$ 与圆 $C:x^2+y^2-4x-4y-8=0$ 相切，则 $m+n+mn$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$-\dfrac76$
【解析】
由题意可知$$\dfrac{|2m+2n-2|}{\sqrt{m^2+n^2}}=4,$$整理得$$3(m+n)^2+2(m+n)-8mn=1,$$令 $m+n=t$，则有$$mn=\dfrac{3t^2+2t-1}{8},$$结合 $(m+n)^2\geqslant|4mn|$，解得 $t\in\left[-1-\sqrt2,-1+\sqrt2\right]$，题意即求$$y=t+\dfrac{3t^2+2t-1}{8}=\dfrac{3t^2+10t-1}{8},$$在 $\left[-1-\sqrt2,-1+\sqrt2\right]$ 上的最小值．
当 $t=-\dfrac53$ 时，取得最小值，因此 $m+n+mn$ 的最小值为 $-\dfrac76$．
当 $t=-\dfrac53$ 时，取得最小值，因此 $m+n+mn$ 的最小值为 $-\dfrac76$．
题目
答案
解析
备注
