记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $4S_n=a_{n+1}-3^{n+1}-3$，$a_1=0$，则用 $n$ 表示数列通项 $a_n$ 为 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$a_n=\begin{cases}0,&n=1,\\21\cdot5^{n-2}-3^n,&n\geqslant2.\end{cases}$
【解析】
根据题意，当 $n\geqslant2$ 时，$$\begin{cases}4S_n=a_{n+1}-3^{n+1}-3,\\4S_{n-1}=a_n-3^n-3,\end{cases}$$两式相减，得$$a_{n+1}-5a_n=2\cdot3^n,$$两边同除以 $3^n$，并整理得$$3\left(\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}+1\right)=5\left(\dfrac{a_n}{3^n}+1\right),$$因此，数列 $\left\{\dfrac{a_n}{3^n}\right\}$ 是从第二项开始的等比数列，结合 $b_2=\dfrac73$，因此，当 $n\geqslant2$ 时，$$\dfrac{a_n}{3^n}+1=\dfrac73\cdot\left(\dfrac53\right)^{n-2},$$再结合 $a_1=0$ 不符合上式，因此数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\begin{cases}0,&n=1,\\21\cdot5^{n-2}-3^n,&n\geqslant2.\end{cases}$
题目
答案
解析
备注
