如图，四棱锥 $V-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，$VD\perp ABCD$，如果 $AD=DV=2$，那么面 $VAC$ 与面 $VCD$ 的夹角的正弦值等于 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt6}{3}$
【解析】
取 $VC$ 中点记为 $E$，连接 $DE,AE$，如图．
由底面 $ABCD$ 为正方形，且 $VD\perp ABCD$，则 $AD\perp VCD$，因此 $\angle AED$ 即为面 $VAC$ 与面 $VCD$ 的夹角，在 $\mathrm{Rt}\triangle ADE$ 中，$$\sin\angle AED=\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{\sqrt6}{3}.$$因此，面 $VAC$ 与面 $VCD$ 的夹角的正弦值为 $\dfrac{\sqrt6}{3}$．
由底面 $ABCD$ 为正方形，且 $VD\perp ABCD$，则 $AD\perp VCD$，因此 $\angle AED$ 即为面 $VAC$ 与面 $VCD$ 的夹角，在 $\mathrm{Rt}\triangle ADE$ 中，$$\sin\angle AED=\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{\sqrt6}{3}.$$因此，面 $VAC$ 与面 $VCD$ 的夹角的正弦值为 $\dfrac{\sqrt6}{3}$．
题目
答案
解析
备注
