已知椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 的左焦点为 $F_1$，右焦点为 $F_2$，点 $P$ 在椭圆上，则 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$[-1,4]$
【解析】
如图，根据极化恒等式，有$$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=\overrightarrow{PO}\cdot\overrightarrow{PO}-\dfrac14\cdot \overrightarrow{F_1F_2}\cdot\overrightarrow{F_1F_2}=PO^2-5,$$根据椭圆的几何性质可知 $PO\in[2,3]$，因此 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}$ 的取值范围是 $[-1,4]$．
题目
答案
解析
备注
