函数 $y=\dfrac{1}{x-\sqrt{1+2x-x^2}}$ 的定义域是 ，值域是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\left[1-\sqrt2,\dfrac{1+\sqrt3}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1+\sqrt3}{2},1+\sqrt2\right]$；$(-\infty,-1]\cup\left[\sqrt2-1,+\infty\right)$
【解析】
由题可知，$x-\sqrt{-x^2+2x+1}\ne0$，整理得$$\begin{cases}x^2\ne-x^2-2x+1 \land x\geqslant0,\\-x^2-2x+1\geqslant0,\end{cases}$$解得函数 $f(x)$ 的定义域是 $\left[1-\sqrt2,\dfrac{1+\sqrt3}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1+\sqrt3}{2},1+\sqrt2\right]$．
题中函数可化为$$y=\dfrac{1}{(x-1)-\sqrt{2-(x-1)^2}+1},$$研究 $f(t)=t-\sqrt{2-t^2}$，令 $t=\sqrt2\cos\theta$，其中 $\theta\in[0,\pi]$，则$$f(x)=x-\sqrt{2-x^2}=-2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right),$$故函数 $f(t)$ 的值域为 $\left[-2,\sqrt2\right]$，因此题中函数的值域为 $(-\infty,-1]\cup\left[\sqrt2-1,+\infty\right)$．
题中函数可化为$$y=\dfrac{1}{(x-1)-\sqrt{2-(x-1)^2}+1},$$研究 $f(t)=t-\sqrt{2-t^2}$，令 $t=\sqrt2\cos\theta$，其中 $\theta\in[0,\pi]$，则$$f(x)=x-\sqrt{2-x^2}=-2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right),$$故函数 $f(t)$ 的值域为 $\left[-2,\sqrt2\right]$，因此题中函数的值域为 $(-\infty,-1]\cup\left[\sqrt2-1,+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
