若将数列 $1,1+3,3+5+7,5+7+9+11,\cdots$，记为 $\{a_n\}$，则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n=$ ，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=$ ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\begin{cases}1,&n=1\\3n^2-4n,&n\geqslant2\end{cases}$；$\dfrac{n(n+1)(2n-3)}{2}+2$
【解析】
由题可知数列 $\{a_n\}$ 从第二项起的第一个数 $m$ 与该项的项数 $n$ 的关系为 $m=2n-1$，且数列 $\{a_n\}$ 的每一项的数字个数与对应项数相同，故从第二项起$$a_n=(2n-3)+(2n-1)+\cdots+(4n-5)=3n^2-4n,$$整理得数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\begin{cases}1,&n=1\\3n^2-4n,&n\geqslant2\end{cases}$．
因此，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和\[\begin{split}S_n&=1+3\sum\limits_{i=2}^{n}{n^2}-4\sum\limits_{i=2}^{n}{n}\\&=1+3\cdot\left[\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{2}-1\right]-4\left[\dfrac{n(n+1)}{2}-1\right]\\&=\dfrac12n(n+1)(2n-3)+2.\end{split}\]因此，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $\dfrac12n(n+1)(2n-3)+2$．
因此，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和\[\begin{split}S_n&=1+3\sum\limits_{i=2}^{n}{n^2}-4\sum\limits_{i=2}^{n}{n}\\&=1+3\cdot\left[\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{2}-1\right]-4\left[\dfrac{n(n+1)}{2}-1\right]\\&=\dfrac12n(n+1)(2n-3)+2.\end{split}\]因此，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $\dfrac12n(n+1)(2n-3)+2$．
题目
答案
解析
备注
