曲线 $C:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{\left(|y|-1\right)^2}{4}=1$ 所围成的图形的面积是 ．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$8\pi+3\sqrt3$
【解析】
将题中曲线进行如下仿射变化$$\begin{cases}x=\dfrac32x',\\y=y'\end{cases}$$则点 $M,A,B$ 对应变为 $M',A',B'$，如图．
曲线 $C$ 变为$$C':x^2+\left(|y|-1\right)^2=4,$$设 $C$ 的面积为 $S$，$C'$ 的面积为 $S'$，则有$$S=\dfrac32S'=\dfrac32\cdot2\cdot\left(\dfrac12\cdot\dfrac{4\pi}{3}\cdot2^2+\dfrac12\cdot2^2\cdot\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)=8\pi+3\sqrt3,$$因此，曲线 $C$ 所围成的图形的面积为 $8\pi+3\sqrt3$．
曲线 $C$ 变为$$C':x^2+\left(|y|-1\right)^2=4,$$设 $C$ 的面积为 $S$，$C'$ 的面积为 $S'$，则有$$S=\dfrac32S'=\dfrac32\cdot2\cdot\left(\dfrac12\cdot\dfrac{4\pi}{3}\cdot2^2+\dfrac12\cdot2^2\cdot\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)=8\pi+3\sqrt3,$$因此，曲线 $C$ 所围成的图形的面积为 $8\pi+3\sqrt3$．
题目
答案
解析
备注
