用高斯函数 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，则满足等式\[
2002\left[n\sqrt{1001^2+1} \right]=n\left[2002\sqrt{1001^2+1} \right]
\]的正整数 $n$ 的个数为 \((\qquad)\)
2002\left[n\sqrt{1001^2+1} \right]=n\left[2002\sqrt{1001^2+1} \right]
\]的正整数 $n$ 的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学自主招生数学试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为\[
2002\cdot 1001<2002\sqrt{1001^2+1}<2002\cdot 1001+1,
\]所以 $\left[2002\sqrt{1001^2+1} \right]=2002\cdot 1001$．
于是原方程等价于\[
\left[n\sqrt{1001^2+1} \right]=1001n,
\]即\[
1001n \leqslant n\sqrt{1001^2+1}<1001n+1,
\]解得 $n \leqslant 2002$．
所以原方程的正整数解有 $2002$ 组．
2002\cdot 1001<2002\sqrt{1001^2+1}<2002\cdot 1001+1,
\]所以 $\left[2002\sqrt{1001^2+1} \right]=2002\cdot 1001$．
于是原方程等价于\[
\left[n\sqrt{1001^2+1} \right]=1001n,
\]即\[
1001n \leqslant n\sqrt{1001^2+1}<1001n+1,
\]解得 $n \leqslant 2002$．
所以原方程的正整数解有 $2002$ 组．
题目
答案
解析
备注
