在三棱锥 $D-ABC$ 中，已知 $AB=2$，$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=-3$．设 $AD=a$，$BC=b$，$CD=c$，则 $\dfrac{c^2}{ab+1}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
分别记 $\overrightarrow {AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}$ 为 ${\bf x},{\bf y},{\bf z}$，则\[{\bf x}^2=4,{\bf y}\cdot {\bf z}=-3,\]而\[\begin{split}\dfrac{c^2}{ab+1}&=\dfrac{\left({\bf x}-{\bf y}+{\bf z}\right)^2}{\left|{\bf x}+{\bf z}\right|\cdot \left|{\bf y}-{\bf x}\right|+1}\\
&=\dfrac{\left({\bf x}+{\bf z}\right)^2-2{\bf y}\cdot \left({\bf x}+{\bf z}\right)+{\bf y}^2}{\left|{\bf x}+{\bf z}\right|\cdot \left|{\bf y}-{\bf x}\right|+1}\\
&=\dfrac{\left({\bf x}+{\bf z}\right)^2+\left({\bf x}-{\bf y}\right)^2-{\bf x}^2-2{\bf y}\cdot {\bf z}}{\left|{\bf x}+{\bf z}\right|\cdot \left|{\bf y}-{\bf x}\right|+1}\\
&=\dfrac{\left({\bf x}+{\bf z}\right)^2+\left({\bf x}-{\bf y}\right)^2+2}{\left|{\bf x}+{\bf z}\right|\cdot \left|{\bf y}-{\bf x}\right|+1}\\
&\geqslant 2,\end{split} \]等号当 $\left|{\bf y}-{\bf x}\right|=\left|{\bf x}+{\bf z}\right|$ 时，即 $a=b$ 时取得．因此所求的最小值为 $2$．
&=\dfrac{\left({\bf x}+{\bf z}\right)^2-2{\bf y}\cdot \left({\bf x}+{\bf z}\right)+{\bf y}^2}{\left|{\bf x}+{\bf z}\right|\cdot \left|{\bf y}-{\bf x}\right|+1}\\
&=\dfrac{\left({\bf x}+{\bf z}\right)^2+\left({\bf x}-{\bf y}\right)^2-{\bf x}^2-2{\bf y}\cdot {\bf z}}{\left|{\bf x}+{\bf z}\right|\cdot \left|{\bf y}-{\bf x}\right|+1}\\
&=\dfrac{\left({\bf x}+{\bf z}\right)^2+\left({\bf x}-{\bf y}\right)^2+2}{\left|{\bf x}+{\bf z}\right|\cdot \left|{\bf y}-{\bf x}\right|+1}\\
&\geqslant 2,\end{split} \]等号当 $\left|{\bf y}-{\bf x}\right|=\left|{\bf x}+{\bf z}\right|$ 时，即 $a=b$ 时取得．因此所求的最小值为 $2$．
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