分别记 $\overrightarrow {DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}$ 为 ${\bf x},{\bf y},{\bf z}$，则根据题意，有\[\begin{split} {\bf x}^2-2{\bf x}\cdot {\bf y}+{\bf y}^2&=4,\\ {\bf y}\cdot {\bf z}-{\bf x}\cdot {\bf y}&=3,\end{split}\]所求代数式\[\dfrac{c^2}{ab+1}=\dfrac{{\bf z}^2}{|{\bf x}|\cdot |{\bf y}-{\bf z}|+1}.\]注意到\[\left({\bf x}^2-2{\bf x}\cdot {\bf y}+{\bf y}^2\right)-2\left({\bf y}\cdot {\bf z}-{\bf x}\cdot {\bf y}\right)={\bf x}^2-2{\bf y}\cdot {\bf z}+{\bf y}^2=-2,\]于是\[\begin{split} \dfrac{c^2}{ab+1}&=\dfrac{{\bf z}^2+{\bf x}^2-2{\bf y}\cdot{\bf z}+{\bf y}^2+2}{|{\bf x}|\cdot |{\bf y}-{\bf z}|+1}\\
&=\dfrac{|{\bf x}|^2+|{\bf y}-{\bf z}|^2+2}{|{\bf x}|\cdot |{\bf y}-{\bf z}|+1}\\
&\geqslant 2,\end{split}\]等号当 $|{\bf x}|=|{\bf y}-{\bf z}|$ 时，也即 $AD=BC$ 时取得．因此所求的最小值为 $2$．