已知实数 $x,y>0,$ 且 $(2xy-1)^2=(5y+2)(y-2)$，则 $x+\dfrac1{2y}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{3\sqrt2}2-1$
【解析】
由题有$$(2xy-1)^2=(3y+2y+2)(3y-2y-2)=9y^2-(2y+2)^2,$$两边同除以 $y^2$ 后，由基本不等式得$$9=(2x-\dfrac1y)^2+(\dfrac2y+2)^2\geqslant \dfrac12\left(2x+\dfrac1y+2\right)^2,$$于是$$\left(x+\dfrac1{2y}\right)_{\mathrm{max}}=\dfrac{3\sqrt2}2-1.$$当且仅当 $2x-\dfrac1y=\dfrac2y+2$ 即 $(x,y)=(\dfrac{9\sqrt2}{2}-\dfrac12,8+6\sqrt2)$ 时取得最大值．
题目
答案
解析
备注
