实数 $x,y,z$ 满足 $x^2+y^2+z^2=1$，则 $xy+yz$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt2}{2}$
【解析】
不妨设 $x,y,z>0$．因为$$\begin{split}1&=\left(x^2+\dfrac12y^2\right)+\left(\dfrac12y^2+z^2\right)\\&\geqslant2\sqrt{\dfrac12x^2y^2}+2\sqrt{\dfrac12y^2z^2}\\&=\sqrt2(xy+yz),\end{split}$$所以$$xy+yz\leqslant\dfrac{\sqrt2}{2},$$当 $x=1,y=\dfrac{\sqrt2}{2},z=1$ 时，取得等号．故所求代数式最大值为 $\dfrac{\sqrt2}{2}$．
题目
答案
解析
备注
