实数 $x,y,z$ 满足 $x^2+y^2+z^2=1$，则 $\sqrt 2 xy+yz$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2009年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 3}{2}$
【解析】
由均值不等式得\[\begin{split}1&=x^2+y^2+z^2\\&=\left(x^2+\dfrac 23 y^2\right)+\left(\dfrac 13y^2+z^2\right)\\& \geqslant 2\sqrt{\dfrac 23}xy+2\sqrt{\dfrac 13}yz\\&=\dfrac 2{\sqrt 3}\left(\sqrt 2 xy+yz\right),\end{split}\]由此可得$$\sqrt 2 xy +yz\leqslant \dfrac{\sqrt 3}{2},$$其中等号成立当且仅当\[(x,y,z)=\left(\sqrt{\dfrac 13},\sqrt{\dfrac 12},\sqrt{\dfrac 16}\right),\]因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}2$．
题目
答案
解析
备注
