已知关于 $x$ 的方程 $x^2+ax+1=b$ 有两个不同的非零整数根，则 $a^2+b^2$ 有可能等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学自主招生数学试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
假设关于 $x$ 的方程 $x^2+ax+1=b$ 的两个不同的非零整数根为 $m,n$（$m<n$），则\[\begin{cases} m+n=-a,\\
mn=1-b,\end{cases}\]因此\[
a^2+b^2=(m+n)^2+(1-mn)^2=\left(m^2+1\right)\left(n^2+1\right),
\]故A选项错误．
令 $a=0$，$b=2$，解得 $m=-1$，$n=1$，满足题意．此时 $a^2+b^2=4$，故B选项正确．
因为完全平方数模 $3$ 余 $0$ 或余 $1$，故C选项错误．
mn=1-b,\end{cases}\]因此\[
a^2+b^2=(m+n)^2+(1-mn)^2=\left(m^2+1\right)\left(n^2+1\right),
\]故A选项错误．
令 $a=0$，$b=2$，解得 $m=-1$，$n=1$，满足题意．此时 $a^2+b^2=4$，故B选项正确．
因为完全平方数模 $3$ 余 $0$ 或余 $1$，故C选项错误．
题目
答案
解析
备注
