已知正数 $a,b,c$ 满足 $3a-b\leqslant c \leqslant 11a-5b$，$2a^3\leqslant a^2c-b^3$，则 $\dfrac bc$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 13$
【解析】
设 $\left(\dfrac ac,\dfrac bc\right)=(x,y)$，则约束条件变为\[\begin{cases} 3x-y\leqslant 1,\\ 11x-5y\geqslant 1,\\ 2x^3\leqslant x^2-y^3.\end{cases}\]由\[y^3\leqslant -2x^3+x^2=x\cdot x\cdot (1-2x)\leqslant \dfrac{1}{27},\]可得 $y\leqslant \dfrac 13$，等号当且仅当 $x=\dfrac 13$ 时取得．经验证，此时 $(x,y)=\left(\dfrac 13,\dfrac 13\right)$ 符合题意．因此所求的最大值为 $\dfrac 13$．
题目
答案
解析
备注
