已知实数 $a,b\in(0,1)$ 且 $ab=\dfrac14$，则 $\dfrac1{1-a}+\dfrac2{1-b}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4+\dfrac{4\sqrt2}{3}$
【解析】
根据题意，有\[m=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2}{1-b}=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2a}{a-\dfrac 14}=\dfrac 1{1-a}+\dfrac{8a}{4a-1},\]其中 $a\in\left(\dfrac 14,1\right)$．令 $1-a=x$，$4a-1=y$，则\[a=\dfrac{x+y}3,1=\dfrac{4x+y}3,\]因此\[m=\dfrac{4x+y}{3x}+\dfrac{8(x+y)}{3y}=4+\dfrac{y}{3x}+\dfrac{8x}{3y}\geqslant 4+\dfrac{4\sqrt 2}3,\]等号当 $y=2\sqrt 2x$，即 $a=\dfrac{3\sqrt 2-2}4$ 时取得．因此所求代数式的最小值为 $4+\dfrac{4\sqrt 2}3$．
题目
答案
解析
备注
