已知实数 $a,b\in(0,1)$ 且 $ab=\dfrac14$，则 $\dfrac1{1-a}+\dfrac2{1-b}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4+\dfrac{4\sqrt2}{3}$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} m&=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2}{1-b}\\
&=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2a}{a-\dfrac 14}\\
&=\dfrac 1{1-a}+\dfrac{8a}{4a-1}\\
&=2+\dfrac{4}{4-4a}+\dfrac{2}{4a-1}\\
&\geqslant 2+\dfrac{\left(2+\sqrt 2\right)^2}{3}\\
&=4+\dfrac{4\sqrt 2}3,\end{split}\]等号当\[\dfrac{2}{4-4a}=\dfrac{\sqrt 2}{4a-1},\]即 $a=\dfrac{3\sqrt 2-2}4$ 时取得．因此所求的最小值为 $4+\dfrac{4\sqrt 2}3$．
&=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{2a}{a-\dfrac 14}\\
&=\dfrac 1{1-a}+\dfrac{8a}{4a-1}\\
&=2+\dfrac{4}{4-4a}+\dfrac{2}{4a-1}\\
&\geqslant 2+\dfrac{\left(2+\sqrt 2\right)^2}{3}\\
&=4+\dfrac{4\sqrt 2}3,\end{split}\]等号当\[\dfrac{2}{4-4a}=\dfrac{\sqrt 2}{4a-1},\]即 $a=\dfrac{3\sqrt 2-2}4$ 时取得．因此所求的最小值为 $4+\dfrac{4\sqrt 2}3$．
题目
答案
解析
备注
