直角梯形 $ABCD$ 中，$\angle{ABC}=90^{\circ}$，$AD\parallel BC$，$AB=AD=2$，$BC=4$，$I$ 为 $BD$ 的中点，直线 $MN$ 过 $I$ 点，且与线段 $AB,CD$ 分别交于点 $M,N$，则 $\overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{CM}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$-\dfrac{56}{3}$
【解析】
以 $B$ 为原点建立直角坐标系：设 $MN:y-1=k(x-1)$，可求得$$-\dfrac 13\leqslant k\leqslant 1.$$计算可得$$M(0,1-k),N\left(\dfrac{k+3}{k+1},\dfrac{3k+1}{k+1}\right),$$所以\[\begin{split}\overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{CM}&=\left(\dfrac{k+3}{k+1},\dfrac{k-1}{k+1}\right)\cdot (-4,1-k)\\&=\dfrac{-k^2-2k-13}{k+1}\\&=-(k+1)-\dfrac{12}{k+1},\end{split}\]由对勾函数单调性可得当 $k=-\dfrac 13$ 时，$\overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{CM}$ 取得最小值为 $-\dfrac{56}{3}$．
题目
答案
解析
备注
