若实数 $a,b$ 满足 $0<a<b<1$，则$$f(x)=\left|x-{\log_a}b\right|+\left|x-{\log_a}{\dfrac 1b}\right|+\left|x-{\log_b}{\dfrac 1b}\right|$$的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
${\log_a}b+1$
【解析】
因为 $0<a<b<1$，所以$${\log_b}{\dfrac 1b}<{\log_a}{\dfrac 1b}<{\log_a}b,$$利用斜率分析函数图象走势可知，$f(x)$ 在 $\left(-\infty,{\log_a}{\dfrac 1b}\right]$ 上单调递减，在 $\left({\log_a}{\dfrac 1b},+\infty\right)$ 上单调递增，因此当 $x={\log_a}{\dfrac 1b}$ 时，函数取得最小值，计算可得$$f\left({\log_a}{\dfrac 1b}\right)={\log_a}b+1.$$
题目
答案
解析
备注
