四面体 $ABCD$ 的三组对棱分别相等，长度分别为 $3,4,x$，那么 $x$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$\left(\sqrt 7,5\right)$
【解析】
将四面体放在长宽高分别为 $b,a,c$ 的长方体中，如图：设 $AB=x$，$AD=4$，$AC=3$，则$$\begin{cases}a^2+b^2=9,\\
a^2+c^2=16,\\ b^2+c^2=x^2.\end{cases}$$所以$$x^2=9-a^2+16-a^2=25-2a^2,$$易知 $0<a^2<9$，所以$$\sqrt 7<x<5.$$
a^2+c^2=16,\\ b^2+c^2=x^2.\end{cases}$$所以$$x^2=9-a^2+16-a^2=25-2a^2,$$易知 $0<a^2<9$，所以$$\sqrt 7<x<5.$$
题目
答案
解析
备注
