已知 $x,y\in \mathbb R^+$，且 $x+y=2$，则 $x^3+2x^2y^2+y^3$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$[4,8)$
【解析】
因为 $x+y=2$ $x,y>0$，所以$$0<xy\leqslant 1.$$所以\[\begin{split}&x^3+2x^2y^2+y^3\\=&(x+y)\left(x^2-xy+y^2\right)+2x^2y^2\\=&2\left(x^2+y^2\right)-2xy+2x^2y^2\\=&2x^2y^2-6xy+8,(0<xy\leqslant 1)\end{split}\]进而可得 $x^3+2x^2y^2+y^3$ 取值范围为 $[4,8)$．
题目
答案
解析
备注
