设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q\ne 0,1$，$S_n$ 表示 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$T_n$ 表示 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项的乘积，$T_n(k)$ 表示 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项中除去第 $k$ 项后所剩余的 $n-1$ 项的乘积，即 $T_n(k)=\dfrac{T_n}{a_k}$（$n,k\in{\mathbb N^*},k\leqslant n$），则数列 $\left\{\dfrac{S_nT_n}{T_n(1)+T_n(2)+\cdots +T_n(n)}\right\}$ 的前 $n$ 项的和是 （用 $a_1$ 和 $q$ 表示）．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{a_1^2\left(1-q^n\right)}{1-q}$
【解析】
设\[b_n=\dfrac{S_nT_n}{T_n(1)+\cdots +T_n(n)},\]则\[\begin{split}b_n&=\dfrac{S_n}{\dfrac{1}{T_n}\left(T_n(1)+\cdots +T_n(n)\right)}\\&=\dfrac{S_n}{\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_n}}\\&=\dfrac{\dfrac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}}{\dfrac{\dfrac 1{a_1}\left(1-\dfrac 1{q^n}\right)}{1-\dfrac 1q}}\\&=a_1^2q^{n-1}.\end{split}\]设 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $M$，则$$M=\dfrac{a_1^2\left(1-q^n\right)}{1-q}.$$
题目
答案
解析
备注
