若 $a,b$ 是正实数，且 $a+b=2$，则 $\dfrac 1{1+a}+\dfrac 1{1+b}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
因为 $a+b=2$，所以$$(a+1)+(b+1)=4,$$所以\[\begin{split}\dfrac 1{1+a}+\dfrac 1{1+b}&=\dfrac 14 \left(\dfrac 1{1+a}+\dfrac 1{1+b}\right)(a+1+b+1)\\&=\dfrac 14\left(2+\dfrac{b+1}{a+1}+\dfrac{a+1}{b+1}\right)\\&\geqslant 1,\end{split}\]当且仅当 $a=b=1$ 时，$\dfrac 1{1+a}+\dfrac 1{1+b}$ 取得最小值 $1$．
题目
答案
解析
备注
