$\alpha ,\beta$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2+2(m-1)x+m^2-4=0$ 的两个实根，设 $y=\alpha ^2+\beta^2$，则 $y=f(m)$ 的解析式是 ，值域是 ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$y=2m^2-8m+12,m\leqslant \dfrac 52$；$[4,+\infty)$
【解析】
因为 $\alpha,\beta$ 为方程 $x^2+2(m-1)x+m^2-4=0$ 的两个实根，所以$$\begin{cases}\alpha+\beta =2(1-m),\\ \alpha \beta =m^2-4,\\ \Delta=4(m-1)^2-4\left(m^2-4\right)\geqslant 0.\end{cases}$$因此\[\begin{split}f(m)&=\alpha^2+\beta^2\\&=(\alpha+\beta)^2-2\alpha \beta\\&=2m^2-8m+12,m\leqslant \dfrac 52.\end{split}\]进而可得其值域为 $[4,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
