方程 $x^2+{\log_{16}}x=0$ 的解是 ；使不等式 $x^2-{\log_m}x<0$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 上恒成立的 $m$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$；$\left[\dfrac 1{16},1\right)$
【解析】
令$$f(x)=x^2+{\log_{16}}x,$$则 $f(x)$ 在定义域 $(0,+\infty)$ 上是增函数，注意到$$f\left(\dfrac 12\right)=0,$$故函数 $f(x)$ 有唯一零点 $\dfrac 12$，即方程$$x^2+{\log_{16}}x=0$$有唯一解 $x=\dfrac 12$．
若$$\forall x\in\left(0,\dfrac 12\right),x^2-{\log_m}x<0,$$则当 $x\in\left(0,\dfrac 12\right)$ 时，函数 $y=x^2$ 图象恒在 $y={\log_m}x$ 图象下方，因此$$\begin{cases}0<m<1,\\ {\log_{m}}{\dfrac 12}\geqslant \dfrac 14,\end{cases}$$解得$$\dfrac 1{16}\leqslant m<1.$$
若$$\forall x\in\left(0,\dfrac 12\right),x^2-{\log_m}x<0,$$则当 $x\in\left(0,\dfrac 12\right)$ 时，函数 $y=x^2$ 图象恒在 $y={\log_m}x$ 图象下方，因此$$\begin{cases}0<m<1,\\ {\log_{m}}{\dfrac 12}\geqslant \dfrac 14,\end{cases}$$解得$$\dfrac 1{16}\leqslant m<1.$$
题目
答案
解析
备注
