若函数 $f(x)={\log_a}\left(x^2-2ax+1-2a^2\right)$（$a>0$ 且 $a\ne 1$）在 $\mathbb R$ 上的最大值是 $2$，则 $a=$ ，$f(x)$ 的单调递增区间是 ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$；$\left(-\infty,\dfrac 12\right]$
【解析】
因为$$x^2-2ax+1-2a^2=(x-a)^2+1-3a^2\geqslant 1-3a^2,$$所以若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上有最大值，则有$$\begin{cases}0<a<1,\\ {\log_a}\left(1-3a^2\right)=2,\end{cases}$$解得$$a=\dfrac 12,$$进一步可得 $f(x)={\log_{\frac 12}}\left(x^2-x+\dfrac 12\right)$ 的单增区间为 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$．
题目
答案
解析
备注
