设 $A=\left\{n\left|\dfrac{2011^n+2013^n}{2012}\in\mathbb Z^+,n\in\mathbb Z^+\right.\right\}$，将 $A$ 中的元素从小到大排列为：$a_1,a_2,\cdots$，则 $a_1+a_2+\cdots+a_{2012}=$ ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$2012^2$
【解析】
根据二项式定理，有$$\dfrac{2011^2+2013^2}{2012}=\dfrac{(2012-1)^n+(2012+1)^n}{2012}=2\cdot2012^{n-1}+\dfrac{(-1)^n+1}{2012},$$由题，可知当 $n$ 为奇数时，满足题意，此时 $a_n=2n-1$，因此$$\sum\limits_{i=1}^{2012}{a_i}=2012\cdot1+\dfrac{2012\cdot2011}{2}\cdot2=2012^2.$$
题目
答案
解析
备注
