如图，在四面体 $ABCD$ 中，$P_1,P_2$ 是 $BC$ 的三等分点，过这两个分点分别作 $CD$ 的平行线 $P_1Q_1,P_2Q_2$，其中 $Q_1,Q_2$ 在 $BD$ 上，则点 $B$ 到平面 $AP_1Q_1$，$AP_2Q_2$ 的距离之比是 ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt2}{3}$
【解析】
设四面体 $ABCD$ 的体积为 $V$，四面体 $A-BP_1Q_1$ 的体积为 $V_1$，四面体 $A-BP_2Q_2$ 的体积为 $V_2$，则有$$V_1=\dfrac19V,V_2=\dfrac49V,$$结合 $P_1,P_2,Q_1,Q_2$ 为三等分点，可得$$AP_1=AP_2=AQ_1=AQ_2=\sqrt7,P_2Q_2=2P_1Q_1=2,$$因此，有$$S_{\triangle AP_1Q_1}=\dfrac{3\sqrt3}{4},S_{\triangle AP_2Q_2}=\sqrt6,$$根据四面体体积不变，可得\[\begin{split}&d_1=\dfrac{3V1}{S_{\triangle AP_1Q_1}}=\dfrac{4}{9\sqrt3}V,\\&d_2=\dfrac{3V_2}{S_{\triangle AP_2Q_2}}=\dfrac{4}{3\sqrt6}V,\end{split}\]其中 $d_1$ 表示 $B$ 到面 $AP_1Q_1$ 的距离，$d_2$ 表示 $B$ 到面 $AP_2Q_2$ 的距离，计算的比值为 $\dfrac{\sqrt2}{3}$．
题目
答案
解析
备注
