已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点分别为 $F_1,F_2$，正三角形 $AF_1F_2$ 的一边 $AF_1$ 与双曲线左支交于点 $B$，且 $\overrightarrow{AF_1}=4\overrightarrow{BF_1}$，则双曲线 $C$ 的离心率的值是 ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt{13}+1}{3}$
【解析】
由题可得 $A\left(0,\sqrt3c\right)$，根据 $\overrightarrow{AF_1}=4\overrightarrow{BF_1}$，可得$$B\left(-\dfrac34c,\dfrac{\sqrt3}{4}c\right),$$由于点 $B$ 在双曲线上，代入得$$\dfrac{9c^2}{16a^2}-\dfrac{3c^2}{16b^2}=1,$$结合 $c^2=a^2+b^2$，整理得$$9e^4-28e^2+16=0,$$解得离心率 $e$ 的值是 $\dfrac{\sqrt{13}+1}{3}$．
题目
答案
解析
备注
