已知正三棱锥的侧面积与底面之比等于 $\lambda$，则此三棱锥的侧棱与底面边长的比等于 ，侧棱与底面所成角的正弦值等于 ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt3}{6}\cdot\sqrt{\lambda^2+3}$，$\sqrt{\dfrac{\lambda^2-1}{\lambda^2+3}}$
【解析】
如图，取 $BD$ 中点记为 $E$，连接 $AE,CE$，取 $CE$ 靠近 $E$ 的三等分点 $O$，连接 $AO$，则 $AO\perp BCD$．
设 $BC=2a,AB=2b$，题意即$$\dfrac{3AE}{CE}=\dfrac{3\sqrt{4b^2-a^2}}{\sqrt3a}=\lambda,$$解得此三棱锥的侧棱与底面边长的比等于 $\dfrac{\sqrt3}{6}\cdot\sqrt{\lambda^2+3}$；
由题 $\angle ACE$ 即为侧棱与底面所成角，注意到$$AO=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{b^2-\dfrac43a^2},$$所以，有$$\sin\angle ACO=\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{\sqrt{b^2-\dfrac43a^2}}{b}=\sqrt{\dfrac{\lambda^2-1}{\lambda^2+3}},$$因此侧棱与底面所成角的正弦值等于 $\sqrt{\dfrac{\lambda^2-1}{\lambda^2+3}}$．
设 $BC=2a,AB=2b$，题意即$$\dfrac{3AE}{CE}=\dfrac{3\sqrt{4b^2-a^2}}{\sqrt3a}=\lambda,$$解得此三棱锥的侧棱与底面边长的比等于 $\dfrac{\sqrt3}{6}\cdot\sqrt{\lambda^2+3}$；由题 $\angle ACE$ 即为侧棱与底面所成角，注意到$$AO=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{b^2-\dfrac43a^2},$$所以，有$$\sin\angle ACO=\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{\sqrt{b^2-\dfrac43a^2}}{b}=\sqrt{\dfrac{\lambda^2-1}{\lambda^2+3}},$$因此侧棱与底面所成角的正弦值等于 $\sqrt{\dfrac{\lambda^2-1}{\lambda^2+3}}$．
题目
答案
解析
备注
