已知函数 $f(x)=\sqrt3\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos x\cos\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)$，则 $f(x)$ 的最小正周期是 ，若函数 $f(x)$ 的图象按向量 $\overrightarrow{b}=(m,n)$ 平移后，所得的图象与函数 $g(x)=\sin2x+1$ 的图象重合，且 $|m|<\dfrac{\pi}{2}$，则 $\overrightarrow{b}=$ ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\pi$，$\left(\dfrac{\pi}{6},1\right)$
【解析】
由题对函数 $f(x)$ 进行变形，有$$f(x)=\dfrac{\sqrt3}{2}\cos2x+\dfrac12\sin2x=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right),$$因此 $f(x)$ 的最小正周期是 $\pi$；
在函数 $f(x)$ 上任取一点 $\left(x_1,f(x_1)\right)$，设其按向量 $\overrightarrow{b}$ 平移后得到点 $(x,y)$，则有$$(x,y)=\left(x_1+m,f(x_1)+n\right),$$因此，有$$\left(x_1,f(x_1)\right)=\left(x_1-m,y_1-n\right),$$因此$$y_1=\sin\left(2x_1+\dfrac{\pi}{3}-2m\right)+n,$$由题则$$n=1,\dfrac{\pi}{3}-2m=2k\pi,$$其中 $k\in\mathbb Z$，结合 $|m|<\dfrac{\pi}{2}$，则 $\overrightarrow{b}=\left(\dfrac{\pi}{6},1\right)$．
在函数 $f(x)$ 上任取一点 $\left(x_1,f(x_1)\right)$，设其按向量 $\overrightarrow{b}$ 平移后得到点 $(x,y)$，则有$$(x,y)=\left(x_1+m,f(x_1)+n\right),$$因此，有$$\left(x_1,f(x_1)\right)=\left(x_1-m,y_1-n\right),$$因此$$y_1=\sin\left(2x_1+\dfrac{\pi}{3}-2m\right)+n,$$由题则$$n=1,\dfrac{\pi}{3}-2m=2k\pi,$$其中 $k\in\mathbb Z$，结合 $|m|<\dfrac{\pi}{2}$，则 $\overrightarrow{b}=\left(\dfrac{\pi}{6},1\right)$．
题目
答案
解析
备注
