若数列 $\{x_n\}$ 满足条件 $x_1=3$，$x_{n+1}=\dfrac{x_n^2+1}{2x_n}$，则该数列的通项公式 $x_n=$ ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{2^{2^{n-1}}+1}{2^{2^{n-1}}-1}$
【解析】
令 $a=\dfrac{a^2+1}{2a}$，得 $a=\pm 1$，即数列 $\{x_n\}$ 的不动点为 $\pm1$，因此$$\begin{cases}x_{n+1}-1=\dfrac{\left(x_n-1\right)^2}{2x_n},\\x_{n+1}+1=\dfrac{\left(x_n+1\right)^2}{2x_n},\end{cases}$$两式相除，得$$\dfrac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}+1}=\left(\dfrac{x_n-1}{x_n+1}\right)^2,$$由题可知 $x_n>1$，两边取对数，得$$\ln\dfrac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}+1}=2\ln\dfrac{x_n-1}{x_n+1},$$结合 $\ln\dfrac{x_1-1}{x_1+1}=\ln\dfrac12$，则有$$\ln \dfrac{x_n-1}{x_n+1}=\ln\dfrac12\cdot2^{n-1},$$因此可解得数列 $\{x_n\}$ 的通项公式 $x_n=\dfrac{2^{2^{n-1}}+1}{2^{2^{n-1}}-1}$．
题目
答案
解析
备注
