设 $\triangle ABC$ 的重心为 $G$，则有$$\sum\limits_{cyc}{MA^2}=\sum\limits_{cyc}{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2}=GA^2+GB^2+GC^2+3MG^2,$$其中用到 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$，因此有$$GA^2+GB^2+GC^2\leqslant MA^2+MB^2+MC^2=4,$$当 $G$ 与 $M$ 重合时，等号成立，根据三角形中线性质，有\[\begin{split}AB^2&=2GA^2+2GB^2-GC^2,\\AC^2&=2GA^2+2GC^2-GB^2,\\BC^2&=2GB^2+2GC^2-GA^2,\end{split}\]三式相加得$$AB^2+AC^2+BC^2=3\left(GA^2+GB^2+GC^2\right)\leqslant12,$$结合均值不等式有$$AB^2\cdot AC^2\cdot BC^2\leqslant\left(\dfrac{AB^2+AC^2+BC^2}{3}\right)^3\leqslant64,$$当且仅当 $\triangle ABC$ 为等边三角形，且 $M$ 为其中心时，等号成立，因此 $AB\cdot AC\cdot BC$ 的最大值为 $8$．