设直线 $AB$ 为 $x=my+t$ 与抛物线联立，得$$y^2-4my-4t=0,$$其判别式 $\Delta=16(m^2+t)>0$，设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),M(x_0,y_0)$，根据弦长公式有$$|AB|=\sqrt{1+m^2}\cdot|y_1-y_2|=4\sqrt{1+m^2}\cdot\sqrt{m^2+t}=3,$$因此有$$t=\dfrac{9}{16}\cdot\dfrac{1}{1+m^2}-m^2,$$根据点 $M$ 是 $AB$ 中点，则$$x_0=my_0+t=m\cdot\dfrac{y_1+y_2}{2}+t=\left(1+m^2\right)+\dfrac{9}{16}\cdot\dfrac{1}{1+m^2}-1,$$根据对勾函数性质，当 $m=0$ 时，$x_0$ 最大为 $\dfrac{9}{16}$，因此点 $M$ 的横坐标的最小值为 $\dfrac{9}{16}$．