若 $a,b$ 均为正实数，则 $\dfrac{b^2+2}{a+b}+\dfrac{a^2}{ab+1}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
根据题意有$$\begin{split}\dfrac{b^2+2}{a+b}+\dfrac{a^2}{ab+1}&=\dfrac{b^2}{a+b}+\dfrac{a^2}{ab+1}+\dfrac2{a+b}\\&\geqslant\dfrac{(a+b)^2}{a+b+ab+1}+\dfrac2{a+b}\\
&\geqslant\dfrac{4(a+b)^2}{(a+b+2)^2}+\dfrac2{a+b}+1-1\\&\geqslant\dfrac4{\dfrac2{a+b}+1}+\dfrac12\cdot\left(\dfrac2{a+b}+1\right)+\dfrac12\cdot\left(\dfrac2{a+b}+1\right)-1\\&\geqslant 2,\end{split}$$等号当 $a=b=1$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $2$．
&\geqslant\dfrac{4(a+b)^2}{(a+b+2)^2}+\dfrac2{a+b}+1-1\\&\geqslant\dfrac4{\dfrac2{a+b}+1}+\dfrac12\cdot\left(\dfrac2{a+b}+1\right)+\dfrac12\cdot\left(\dfrac2{a+b}+1\right)-1\\&\geqslant 2,\end{split}$$等号当 $a=b=1$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
