$\forall c>0$，非零实数 $a,b$ 满足 $4a^2-2ab+b^2-c=0$．求使 $|2a+b|$ 取得最大值时，$\dfrac1a+\dfrac2b+\dfrac4c$ 的最小值 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-1$
【解析】
根据题设有$$c=(2a+b)^2-6ab\geqslant(2a+b)^2-\dfrac34(2a+b)^2,$$所以当且仅当 $2a=b$ 时，$|2a+b|$ 取得最大值 $2\sqrt c$．此时$$(a,b,c)=(a,2a,4a^2),$$于是$$\dfrac1a+\dfrac2b+\dfrac4c=\dfrac1{a^2}+\dfrac2a\geqslant -1,$$当且仅当 $(a,b,c)=(-1,-2,4)$ 时等号成立．于是所求表达式最小值为 $-1$．
题目
答案
解析
备注
