已知 $a,b\in[0,1]$，则 $S(a,b)=\dfrac a{1+b}+\dfrac b{1+a}+(1-a)(1-b)$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{13-5\sqrt5}2$
【解析】
根据题意有$$ \begin{split} S(a,b)&=\dfrac a{1+b}+\dfrac b{1+a}+(1-a)(1-b)\\
&==\dfrac{1+a+b+a^2b^2}{1+a+b+ab}\\
&=1-\dfrac{ab-a^2b^2}{1+a+b+ab}\\
&\geqslant 1-\dfrac{ab-a^2b^2}{1+2\sqrt{ab}+ab} \end{split}.$$设 $x=\sqrt{ab}$，则 $x$ 的取值范围是 $[0,1]$，将上述不等式右侧记为 $f(x)$，于是$$f(x)=1-\dfrac{x^2(1-x^2)}{(x+1)^2}=1+\dfrac{x^3-x^3}{x+1},0\leqslant x\leqslant 1.$$求导得$$f'(x)=\dfrac{2x(x^2+x-1)}{(x+1)^2},0\leqslant x\leqslant 1.$$故 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上得单调性为$$\begin{array}{c|cccc}\hline
x&0&\left(0,\dfrac{\sqrt5-1}2\right)&\dfrac{\sqrt5-1}2&\left(\dfrac{\sqrt5-1}2,1\right]\\\hline
f'(x)&0&-&0&+ \\\hline
f(x)&1&\searrow&\textrm{极小值}&\nearrow\\\hline
\end{array}$$因此当 $a=b=x=\dfrac{\sqrt5-1}2$ 时$$S_{\mathrm{min}}=f(x)_\mathrm{min}
=f\left(\dfrac{\sqrt5-1}{2}\right)=\dfrac{13-5\sqrt5}2.$$
&==\dfrac{1+a+b+a^2b^2}{1+a+b+ab}\\
&=1-\dfrac{ab-a^2b^2}{1+a+b+ab}\\
&\geqslant 1-\dfrac{ab-a^2b^2}{1+2\sqrt{ab}+ab} \end{split}.$$设 $x=\sqrt{ab}$，则 $x$ 的取值范围是 $[0,1]$，将上述不等式右侧记为 $f(x)$，于是$$f(x)=1-\dfrac{x^2(1-x^2)}{(x+1)^2}=1+\dfrac{x^3-x^3}{x+1},0\leqslant x\leqslant 1.$$求导得$$f'(x)=\dfrac{2x(x^2+x-1)}{(x+1)^2},0\leqslant x\leqslant 1.$$故 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上得单调性为$$\begin{array}{c|cccc}\hline
x&0&\left(0,\dfrac{\sqrt5-1}2\right)&\dfrac{\sqrt5-1}2&\left(\dfrac{\sqrt5-1}2,1\right]\\\hline
f'(x)&0&-&0&+ \\\hline
f(x)&1&\searrow&\textrm{极小值}&\nearrow\\\hline
\end{array}$$因此当 $a=b=x=\dfrac{\sqrt5-1}2$ 时$$S_{\mathrm{min}}=f(x)_\mathrm{min}
=f\left(\dfrac{\sqrt5-1}{2}\right)=\dfrac{13-5\sqrt5}2.$$
题目
答案
解析
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