实数 $x,y$ 满足 $1+\cos^2\left(2x+3y-1\right)=\dfrac{x^2+y^2+2(x+1)(1-y)}{x-y+1}$，则 $xy$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac1{25}$
【解析】
根据题意有$$1\leqslant LHS\leqslant 2,$$又因为$$RHS=\dfrac{\left(x-y+1\right)^2+1}{x-y+1},$$故 $RHS\geqslant 2$ 或 $RHS\leqslant -2$．因此只能有$$LHS=2=RHS,$$所以有$$\begin{cases} 2x+3y-1=k\pi,k\in\mathbb Z\\x-y+1=1. \end{cases}$$联立求解得$$x=y=\dfrac15(k\pi+1),k\in\mathbb Z,$$故有$$xy=\dfrac1{25}\left(k\pi+1\right)^2\geqslant \dfrac1{25},$$因此当 $x=y=\dfrac15$ 时 $xy$ 取得最小值 $\dfrac1{25}$．
题目
答案
解析
备注
