设 $A,B$ 是抛物线 $y=x^2$ 上的两点，$O$ 是坐标原点．若 $OA\perp OB$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
ABD
【解析】
设 $A(x_1,x_1^2)$，$B(x_2,x_2^2)$，则根据题意，有 $x_1x_2+x_1^2x_2^2=0$，从而 $x_1x_2=-1$．
对于选项A，有$$|OA|\cdot |OB| = \sqrt{x_1^2+x_1^4}\cdot\sqrt{x_2^2+x_2^4}=\sqrt{2+x_1^2+x_2^2}\geqslant 2;$$对于选项B，有$$|OA|+|OB|\geqslant 2\sqrt{|OA|\cdot |OB|}\geqslant 2\sqrt 2;$$对于选项C，直线 $AB$ 的纵截距为 $\dfrac{x_1x_2^2-x_2x_1^2}{x_1-x_2}=1$，于是直线 $AB$ 恒过点 $(0,1)$，而非恒过焦点；
对于选项D，由于直线 $AB$ 恒过点 $(0,1)$，于是 $O$ 到直线 $AB$ 的距离不大于 $1$．
对于选项A，有$$|OA|\cdot |OB| = \sqrt{x_1^2+x_1^4}\cdot\sqrt{x_2^2+x_2^4}=\sqrt{2+x_1^2+x_2^2}\geqslant 2;$$对于选项B，有$$|OA|+|OB|\geqslant 2\sqrt{|OA|\cdot |OB|}\geqslant 2\sqrt 2;$$对于选项C，直线 $AB$ 的纵截距为 $\dfrac{x_1x_2^2-x_2x_1^2}{x_1-x_2}=1$，于是直线 $AB$ 恒过点 $(0,1)$，而非恒过焦点；
对于选项D，由于直线 $AB$ 恒过点 $(0,1)$，于是 $O$ 到直线 $AB$ 的距离不大于 $1$．
题目
答案
解析
备注
