已知实数 $a,b$ 满足 $a^2-ab-2b^2=1$，则 $a^2+b^2$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{2\sqrt{10}+2}{9},+\infty\right)$
【解析】
设题中代数式为 $t$，则\[t=\dfrac{a^2+b^2}{a^2-ab-2b^2},\]即\[(t-1)a^2-tab+(-2t-1)b^2=0,\]因此其判别式\[\Delta=t^2-4(t-1)(-2t-1)=9t^2-4t-4\geqslant 0,\]解得\[t\geqslant \dfrac{2\sqrt{10}+2}9,\]因此所求代数式的取值范围是 $\left[\dfrac{2\sqrt{10}+2}{9},+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
