已知 $a,b,c\in\mathbb R.$ 若 $|a\cos^2x+b\sin x+c|\leqslant 1$ 对 $x\in\mathbb R$ 恒成立，则 $|a\sin x+b|$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
由题令 $t=\sin x,$ 则$$|a\cos^2x+b\sin x+c|=|-at^2+bt+c+a|\leqslant 1,t\in[-1,1],$$分别令 $t=0,1,-1$ 可得$$|a+c|\leqslant 1\wedge|b+c|\leqslant 1\wedge|b-c|\leqslant 1,$$则有$$\begin{cases} |a-b|\leqslant|a+c|+|b+c|\leqslant 2,\\
|a+b|\leqslant|a+c|+|b-c|\leqslant 2.\end{cases}$$所以 $|a\sin x+b|\leqslant \mathrm{max}\{|a+b|,|a-b|\}\leqslant 2.$ 故所求最大值为 $2$．
|a+b|\leqslant|a+c|+|b-c|\leqslant 2.\end{cases}$$所以 $|a\sin x+b|\leqslant \mathrm{max}\{|a+b|,|a-b|\}\leqslant 2.$ 故所求最大值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
