设 $x,y$ 为实数，若 $4x^2+y^2+xy=1$，则 $2x+y$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
【解析】
根据题意有$$\begin{split}
1&=(2x+y)^2-\dfrac32\cdot2x\cdot y\\
&\geqslant(2x+y)^2-\dfrac38(2x+y)^2\\
&=\dfrac58(2x+y)^2.
\end{split}$$所以当 $2x=y=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$ 时，$(2x+y)_{\mathrm{max}}=\sqrt{\dfrac58}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$．
1&=(2x+y)^2-\dfrac32\cdot2x\cdot y\\
&\geqslant(2x+y)^2-\dfrac38(2x+y)^2\\
&=\dfrac58(2x+y)^2.
\end{split}$$所以当 $2x=y=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$ 时，$(2x+y)_{\mathrm{max}}=\sqrt{\dfrac58}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$．
题目
答案
解析
备注
