在平面直角坐标系中，设 $A,B,C$ 是圆 $x^2+y^2=1$ 上相异三点，若存在正实数 $\lambda,\mu$，使得 $\overrightarrow {OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，则 $\lambda^2+\left(\mu-3\right)^2$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[2,+\infty)$
【解析】
根据题意有$$\left(\lambda\overrightarrow{OA}\right)^2=\left(\overrightarrow{OC}-\mu\overrightarrow{OB}\right)^2,$$于是$$\lambda^2=1+\mu^2-2\mu\cos\theta,\theta=<\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB}>\in\left[0,\pi\right].$$因此$$\begin{split} \lambda^2+\left(\mu-3\right)^2&=2\mu^2-\left(6+2\cos\theta\right)\mu+10\\&\geqslant \dfrac18\left(-4\cos^2\theta-24\cos\theta+54\right)\\&\geqslant 2.\end{split}$$当且仅当 $\cos\theta=1$ 即 $(\lambda,\mu)=(-1,2)$ 时所求表达式取得最小值 $2$，所以 $\lambda^2+\left(\mu-3\right)^2$ 的取值范围为 $[2,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
