令\[f(x)=3\sqrt{1+2x^2}+2\sqrt{40+9(1-x)^2},0\leqslant x\leqslant 1,\]即\[f(x)=3\sqrt{2x^2+1}+2\sqrt{9x^2-18x+49}, 0\leqslant x\leqslant 1,
\]则其导函数\[
f'(x)=6\cdot\dfrac{x\sqrt{9x^2-18x+49}+(3x-3)\sqrt{2x^2+1}}{\sqrt{\left(2x^2+1\right)\left(9x^2-18x+49\right)}}.
\]注意到\[x\sqrt{9x^2-18x+49}+(3x-3)\sqrt{2x^2+1}=0,\]即\[9x^4-18x^3-22x^2-18x+9=0,\]也即\[(3t-10)(3t+4)=0,\]其中 $t=x+\dfrac 1x$，于是可得极值点 $x=\dfrac 13$，以此为分界点讨论如下．\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
x & 0 & \left(0,\dfrac{1}{3}\right) & \dfrac{1}{3} & \left(\dfrac{1}{3},1\right) & 1 \\ \hline
f'(x) && - & 0 & + &\\ \hline
f(x) & 17 & \searrow & 5\sqrt{11} & \nearrow & 3\sqrt{3}+4\sqrt{10} \\ \hline
\end{array}\]因为 $17<3\sqrt{3}+4\sqrt{10}$，所以当且仅当 $(a,b)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right)$ 时，所求代数式取得最小值为 $5\sqrt{11}$；当且仅当 $(a,b)=(1,0)$ 时，所求代数式取得最大值 $3\sqrt{3}+4\sqrt{10}$．