已知实数 $a,b,c,d$ 满足 $a+2b+3c+4d=\sqrt{10}$，求 $a^2+b^2+c^2+(a+b+c+d)^2$ 的最小值 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
根据题意设实数 $u,v,x,y,z$，记$$\begin{cases}
M=a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2,\\
N= u^2+v^2+x^2+y^2+z^2
\end{cases}$$则由柯西不等式有$$M\cdot N
\geqslant\left[(u+z)a+(v+z)b+(x+z)c+(y+z)d\right]^2,$$为确等号成立，须有$$\dfrac au=\dfrac bv=\dfrac cx=\dfrac dy=\dfrac{a+b+c+d}{z}=\dfrac{a+b+c+d}{u+v+x+y},$$因此$$z=u+v+x+y,$$令$$\begin{cases} u+z=k,\\
v+z=2k,\\
x+z=3k,\\
y+z=4k. \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} u=k-z,\\v=2k-z,\\x=3k-z,\\y=4k-z,\\z=z. \end{cases}$$则$$z=10k-4z,$$所以 $z=2k$，于是$$(u,v,x,y,z)=(-k,0,k,2k,2k),$$取 $k=\dfrac1{\sqrt{10}}$，则此时 $N=1$，于是$$M
\geqslant\left[(u+z)a+(v+z)b+(x+z)c+(y+z)d\right]^2=1.$$所以所求表达式最小值为 $1$．
M=a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2,\\
N= u^2+v^2+x^2+y^2+z^2
\end{cases}$$则由柯西不等式有$$M\cdot N
\geqslant\left[(u+z)a+(v+z)b+(x+z)c+(y+z)d\right]^2,$$为确等号成立，须有$$\dfrac au=\dfrac bv=\dfrac cx=\dfrac dy=\dfrac{a+b+c+d}{z}=\dfrac{a+b+c+d}{u+v+x+y},$$因此$$z=u+v+x+y,$$令$$\begin{cases} u+z=k,\\
v+z=2k,\\
x+z=3k,\\
y+z=4k. \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} u=k-z,\\v=2k-z,\\x=3k-z,\\y=4k-z,\\z=z. \end{cases}$$则$$z=10k-4z,$$所以 $z=2k$，于是$$(u,v,x,y,z)=(-k,0,k,2k,2k),$$取 $k=\dfrac1{\sqrt{10}}$，则此时 $N=1$，于是$$M
\geqslant\left[(u+z)a+(v+z)b+(x+z)c+(y+z)d\right]^2=1.$$所以所求表达式最小值为 $1$．
题目
答案
解析
备注
