如图，已知 $ AB $ 和 $ AC $ 是圆的两条弦，过点 $ B $ 作圆的切线与 $ AC $ 的延长线相交于 点 $ D $．过点 $ C $ 作 $ BD $ 的平行线与圆相交于点 $ E $，与 $ AB $ 相交于点 $ F$，$AF=3$，$FB=1$，$EF={\dfrac{3}{2}} $，则线段 $ CD $ 的长为 ．
【难度】
【出处】
2012年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
$ {\dfrac{4}{3}} $
【解析】
由相交弦定理，得 $ AF\cdot FB=EF\cdot FC$，即 $3\times 1={\dfrac{3}{2}}FC$，解得 $ FC=2 $．
又 $ CF\parallel BD $，则 ${\dfrac{FC}{BD}}={\dfrac{AF}{AB}},
即 {\dfrac{2}{BD}}={\dfrac{3}{4}}$，解得 $BD={\dfrac{8}{3}}$．
又 ${\dfrac{AC}{CD}}={\dfrac{AF}{FB}}=3$，即 $ AC=3CD$，$AD=4CD$．
由切割线定理，得 ${DB}^2=CD\cdot AD=CD\cdot 4CD$，即 $\left(\dfrac 83\right)^2=4{CD}^2 $，解得 $CD={\dfrac{4}{3}}$．
又 $ CF\parallel BD $，则 ${\dfrac{FC}{BD}}={\dfrac{AF}{AB}},
即 {\dfrac{2}{BD}}={\dfrac{3}{4}}$，解得 $BD={\dfrac{8}{3}}$．
又 ${\dfrac{AC}{CD}}={\dfrac{AF}{FB}}=3$，即 $ AC=3CD$，$AD=4CD$．
由切割线定理，得 ${DB}^2=CD\cdot AD=CD\cdot 4CD$，即 $\left(\dfrac 83\right)^2=4{CD}^2 $，解得 $CD={\dfrac{4}{3}}$．
题目
答案
解析
备注
