已知函数 $f(x)=x^2+ax+b,a,b\in\mathbb R$ 在区间 $(0,1]$ 上有零点 $x_0$，则 $ab\left(\dfrac{x_0}4+\dfrac1{9x_0}-\dfrac13\right)$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac1{144}$
【解析】
根据题意有$$b=-x_0(x_0+a),$$则$$\begin{split} ab\left(\dfrac{x_0}4+\dfrac1{9x_0}-\dfrac13\right)&=-\dfrac1{36}\cdot a(x_0+a)(3x_0-2)^2\\
&\leqslant \dfrac1{144}\cdot\left(3x_0^2-2x_0\right)^2\\
&\leqslant \dfrac1{144}.\end{split}$$当 $a=b=-\dfrac12$ 时所求表达式取得最大值 $\dfrac1{144}$．
&\leqslant \dfrac1{144}\cdot\left(3x_0^2-2x_0\right)^2\\
&\leqslant \dfrac1{144}.\end{split}$$当 $a=b=-\dfrac12$ 时所求表达式取得最大值 $\dfrac1{144}$．
题目
答案
解析
备注
