$1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots +k\cdot k!$（$k\geqslant 4 $）的末位数字是 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$9$
【解析】
由于\[k\cdot k! \equiv \begin{cases} 1\pmod{10},&k=1,\\
4\pmod{10},&k=2,\\
8\pmod{10},&k=3,\\
6\pmod{10},&k=4,\\
0\pmod{10},&k\geqslant 5,\end{cases}\]于是当 $k\geqslant 4$ 时，有\[1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots +k\cdot k!\equiv 9\pmod{10}.\]
4\pmod{10},&k=2,\\
8\pmod{10},&k=3,\\
6\pmod{10},&k=4,\\
0\pmod{10},&k\geqslant 5,\end{cases}\]于是当 $k\geqslant 4$ 时，有\[1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots +k\cdot k!\equiv 9\pmod{10}.\]
题目
答案
解析
备注
