如果 $-1,a,b,c,-9$ 成等比数列，且 $ax^2+2bx+c=0$ 的两根为 $x_1,x_2$，则 $x_1^2+x_2^2=$ ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
根据题意，等比数列的首项为 $-1$，公比为 $-a$，于是\[b=-a^2,c=a^3,-9=-a^4.\]因此题中方程即\[ax^2-2a^2x+a^3=0,\]也即\[a(x-a)^2=0,\]因此\[x_1=x_2=a,\]进而\[x_1^2+x_2^2=2a^2=6.\]另法 由韦达定理知$$x_1+x_2=-\dfrac{2b}a,x_1x_2=\dfrac ca,$$于是$$x_1^2+x_2^2=\left(-\dfrac{2b}a\right)^2-2\cdot\dfrac ca=\dfrac{4b^2-2ac}{a^2}.$$另一方面，由等比数列的性质知$$b^2=ac=9,b<0,$$所以 $a^2=-1\cdot b=3$，从而有 $ x_1^2+x_2^2=\dfrac{18}{3}=6$．
题目
答案
解析
备注
